2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후2) 실전 모의고사 1회 해설집

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후2) 모의고사 1회 - [문제 1] 상세해설

2027학년도 실전 모의고사 1회 [2026학년도 기출유형] 정답 및 해설

📌 [문제 1-1] 해설 및 모범 답안

삼각형의 무게중심을 \((a, b)\)라 하면, 직선 \(2x+y-30=0\)까지의 거리는 \(d = \frac{|2a+b-30|}{\sqrt{5}}\)이다.
\(d \le 6\sqrt{5} \iff |2a+b-30| \le 30\)이다.
5개의 점 중 3개를 고르는 전체 경우의 수는 \({_5\mathrm{C}_3} = 10\)가지이다. 각 조합에 대한 무게중심과 \(|2a+b-30|\)의 값은 다음과 같다:
• \((P_1, P_2, P_3): (-5, 2) \implies 38\)
• \((P_1, P_2, P_4): (-2, 1) \implies 33\)
• \((P_1, P_2, P_5): (-2, -1) \implies 35\)
• \((P_1, P_3, P_4): (-1, 2) \implies 30 \le 30\) (O)
• \((P_1, P_3, P_5): (-1, 0) \implies 32\)
• \((P_1, P_4, P_5): (2, -1) \implies 27 \le 30\) (O)
• \((P_2, P_3, P_4): (-1, 4) \implies 28 \le 30\) (O)
• \((P_2, P_3, P_5): (-1, 2) \implies 30 \le 30\) (O)
• \((P_2, P_4, P_5): (2, 1) \implies 25 \le 30\) (O)
• \((P_3, P_4, P_5): (3, 2) \implies 22 \le 30\) (O)
따라서 조건을 만족하는 경우의 수는 총 \(6\)가지이다.
[답] \(6\)

📌 [문제 1-2] 해설 및 모범 답안

호 \(F_1G_1\)의 원주각 성질과 평행선 성질에 의해 \( riangle B_2C_2F_1 \sim riangle G_1C_2D_2\)이다.
\(\overline{C_2F_1} = a\), 정사각형 \(A_2B_2C_2D_2\)의 한 변을 \(r\)이라 하면 닮음비에 의해 \(r^2 = a(\sqrt{2}-a)\)이다.
\( riangle B_2C_2F_1\)에서 사인법칙 및 덧셈정리를 적용하면 \(r = \frac{\sqrt{2}a(1+\cot\theta)}{2}\)이다.
\(\cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{5} \implies \cot\theta = \frac{1}{2}\)를 대입하면 \(r = \frac{12}{17}\)을 얻는다.
각 단계에서 정사각형의 넓이 비는 공비가 \(q = \frac{r^2}{4} = \frac{36}{289}\)인 등비수열을 이룬다.
첫째항이 \(S_1 = 4\)이므로, 무한등비급수의 합은
\(\sum_{n=1}^\infty S_n = \frac{4}{1 - \frac{36}{289}} = \frac{4 \times 289}{253} = \frac{1156}{253}\)이다.
[답] \(\frac{1156}{253}\)

📌 [문제 1-3] 해설 및 모범 답안

두 직선 \(BM\)과 \(PN\)의 교점 \(S\) 성질과 평면의 평행 관계에 의해 \(MN \parallel BP\)이다.
점 \(P\)의 평면 \(DEF\) 위로의 정사영을 \(P'\)이라 하면, 닮음비로부터 \(t : (3-t) = 2 : 1 \implies t = 2\)이다.
\(\overline{PQ} = \sqrt{41}, \overline{PR} = \sqrt{38}, \overline{QR} = \sqrt{5}\)에서 코사인법칙에 의해 \(\cos\angle QPR = \frac{37}{\sqrt{1558}}\), \(\sin\angle QPR = \frac{3\sqrt{21}}{\sqrt{1558}}\).
따라서 \( riangle PQR\)의 넓이는 \(S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{41} \cdot \sqrt{38} \cdot \frac{3\sqrt{21}}{\sqrt{1558}} = \frac{3\sqrt{21}}{2}\)이다.
\( riangle PQR\)의 평면 \(DEF\) 위로의 정사영 넓이는 \(S' = \triangle P'QR = \frac{9}{2} - 1 - 1 - 1 = \frac{3}{2}\)이다.
따라서 \(\cos\theta = \frac{S'}{S} = \frac{3/2}{3\sqrt{21}/2} = \frac{1}{\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{21}}{21}\)이다.
[답] \(\frac{\sqrt{21}}{21}\)

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후2) 모의고사 1회 - [문제 1] 전수 채점기준표

2027학년도 실전 모의고사 1회 [2026학년도 기출유형] 정답 및 해설

하위 문항	채점 세부 기준 및 평가 요소	배점
1-1	점과 직선 사이의 거리 공식을 세우고, 무게중심 10개 좌표를 전수 조사하여 부등식 \(\|2a+b-30\| \le 30\)을 확인한 경우	10점
1-1	조건을 만족하는 최종 경우의 수 \(6\)을 정확히 계산한 경우	10점
1-2	원주각과 닮음을 활용하여 \( riangle B_2C_2F_1 \sim riangle G_1C_2D_2\)임을 보이고 사인법칙으로 변의 관계식을 유도한 경우	15점
1-2	정사각형의 한 변 \(r = \frac{12}{17}\) 및 공비 \(q = \frac{36}{289}\)를 구하고 무한급수의 합 \(\frac{1156}{253}\)을 도출한 경우	25점
1-3	삼각기둥의 단면과 직선의 평행 조건을 이용하여 비례식으로부터 \(t = 2\)를 정확히 구한 경우	20점
1-3	\( riangle PQR\)의 원래 넓이와 바닥면으로의 정사영 넓이를 구하여 \(\cos\theta = \frac{\sqrt{21}}{21}\)을 도출한 경우	20점

🔍 QAH 수리논술 감수위원회의 핵심 평가 포인트:
• 무한등비급수 닮음비: 삼각함수 덧셈정리와 원주각을 활용한 한 변 \(r\) 계산 과정에서 \(\cot\theta = \frac{1}{2}\)를 논리적으로 도출하는 것이 핵심 채점 요소입니다.
• 정사영 이면각: 공간도형의 넓이 \(S\)와 정사영 넓이 \(S'\)을 분리하여 \(\cos\theta = \frac{S'}{S}\)로 연결하는 과정이 매우 명쾌해야 합니다.

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후2) 모의고사 1회 - [문제 2] 상세해설

2027학년도 실전 모의고사 1회 [2026학년도 기출유형] 정답 및 해설

📌 [문제 2-1] 해설 및 모범 답안

\(f(x) = \frac{(1+x)^n + (1-x)^n}{1+x^n}\)의 도함수를 몫의 미분법으로 전개하면 다음과 같다:
\[ f'(x) = \frac{n}{(1+x^n)^2} [ (1+x)^{n-1}(1-x^{n-1}) - (1-x)^{n-1}(1+x^{n-1}) ] \]
\(0 < x < 1\)일 때 \(x^{n-1} < x\)이므로 \(\frac{1+x}{1-x} > \frac{1+x^{n-1}}{1-x^{n-1}}\)이 성립한다.
따라서 \((1+x)^{n-1}(1-x^{n-1}) > (1-x)^{n-1}(1+x^{n-1})\)이 되어 분자가 항상 양수이다.
열린구간 \((0, 1)\)에서 \(f'(x) > 0\)이므로 함수 \(f(x)\)는 닫힌구간 \([0, 1]\)에서 단조 증가한다.
따라서 최댓값은 \(f(1) = \frac{2^n + 0}{2} = 2^{n-1}\)이고, 최솟값은 \(f(0) = \frac{1+1}{1} = 2\)이다.
[답] 최댓값: \(2^{n-1}\), 최솟값: \(2\)

📌 [문제 2-2] 해설 및 모범 답안

문제 2-1의 부등식에 의해 임의의 실수 \(a, b\)에 대하여 \((a+b)^8 + (a-b)^8 \ge 2(a^8+b^8)\)이 성립하며, 등호는 \(a=0\) 또는 \(b=0\)일 때 성립한다.
주어진 점 \(A, B\)의 중점 \(M(g(s), h(s))\)에 부등식을 적용하여 변변 더하면
\(\left( \frac{\sqrt[8]{1-s^8} - \sqrt[8]{1-(f(s))^8}}{2} \right)^8 + \left( \frac{s - f(s)}{2} \right)^8 \le \left(\frac{1}{k}\right)^8\)
양변에 \(2^8 = 256\)을 곱하면
\(\{ \sqrt[8]{1-s^8} - \sqrt[8]{1-(f(s))^8} \}^8 + \{s - f(s)\}^8 \le \frac{256}{k^8}\)이다.
등호 성립 조건은 \(s = f(s)\) 또는 \(s = -f(s)\)이며, 그래프 분석에 의해 \(s = \frac{1}{k}\)일 때 \(f(1/k) = -1/k\)이므로 등호가 완전히 성립한다.
따라서 구하는 식의 최댓값은 \(\frac{256}{k^8}\)이다.

[답] \(\frac{256}{k^8}\)

2027학년도 한양대학교 자연계열 (오후2) 모의고사 1회 - [문제 2] 채점기준표 및 2-3 해설

2027학년도 실전 모의고사 1회 [2026학년도 기출유형] 정답 및 해설

📌 [문제 2-3] 해설 및 모범 답안

함수 \(y = |g(x)+k|\)의 꼭짓점과 연결점을 분석하면 \(k\)의 범위에 따라 교점 개수 \(h(s)\)의 불연속점 개수가 결정된다:
• \(k \ge 8n^2-2\)일 때: 불연속점 \(3\)개
• \(4n^2-2 < k < 8n^2-2\)일 때: 불연속점 \(4\)개
• \(k = 4n^2-2\)일 때: 극솟값과 접선이 일치하여 불연속점이 정확히 \(s = k+n^2+2, 0\)의 \(2\)개만 발생한다.
• \(\frac{7}{2}n^2-2 < k < 4n^2-2\)일 때: 불연속점 \(4\)개, \(k = \frac{7}{2}n^2-2\)일 때: \(3\)개, \(0 < k < \frac{7}{2}n^2-2\)일 때: \(4\)개이다.
따라서 불연속점의 개수가 \(2\)가 되도록 하는 양수 \(k\)는 \(a_n = 4n^2 - 2\)이다.
구하는 수열의 합은
\(\sum_{n=1}^{10} a_n = \sum_{n=1}^{10} (4n^2 - 2) = 4 \times \frac{10 \times 11 \times 21}{6} - 2 \times 10 = 1540 - 20 = 1520\)이다.
[답] \(1520\)

하위 문항	채점 세부 기준 및 평가 요소	배점
2-1	도함수 \(f'(x)\)를 몫의 미분법으로 올바르게 유도하고 분자의 부호가 양수임을 증명한 경우	10점
2-1	\(f(x)\)의 단조 증가성을 파악하여 최댓값 \(2^{n-1}\)과 최솟값 \(2\)를 모두 구한 경우	20점
2-2	문항 2-1의 부등식을 활용하여 벡터 \(M\)에 대한 부등식 및 상계 식을 정확히 수립한 경우	20점
2-2	등호 성립 조건 \(s = \frac{1}{k}\)를 밝히고 최종 최댓값 \(\frac{256}{k^8}\)을 도출한 경우	20점
2-3	\(k\)의 구간별 경우를 6가지로 나누어 불연속점이 2개인 조건 \(k = 4n^2-2\)를 정확히 확정한 경우	20점
2-3	자연수 거듭제곱의 합 공식을 적용하여 \(\sum_{n=1}^{10} a_n = 1520\)을 계산한 경우	10점